Bài toán thú vị: Tìm ngày sinh của Cheryl

15/5 16/5 19/5

17/6 18/6

14/7 16/7

14/8 15/8 17/8

Sau đó Cheryl nói riêng với Albert và Bernard tháng sinh và ngày sinh của cô. Cô nói với Albert tháng sinh và nói với Bernard ngày sinh.

Albert: Mình không biết ngày sinh của Cheryl nhưng mình biết là Bernard cũng không biết.

Bernard: Lúc đầu mình không biết nhưng bây giờ thì mình biết rồi.

Albert: Vậy thì mình cũng biết ngày sinh của Cheryl rồi.

Hỏi Cheryl sinh ngày nào?

Đây là một bài toán trong đề thi Olympiad Toán học Singapore và châu Á (SASMO) được tổ chức vào ngày 8/4/2015 vừa qua, dành cho học sinh năm thứ 3 và thứ 4 của cấp 2 Singapore – nghĩa là học sinh trong độ tuổi 14-15. Năm nay, có khoảng 28.000 học sinh tới từ Singapore, Brunei, Malaysia, Indonesia, Myanmar, Việt Nam, Campuchia, Philippines, Thái Lan, Trung Quốc, Hồng Kông và Ma Cao, Bulgaria, Uzbekistan, Mông Cổ và Vương quốc Anh tham gia cuộc thi này.

Bài toán trên là câu hỏi số 24 trong tổng số 25 câu hỏi. Đây là một bài toán khó nhằm chọn ra những thí sinh xuất sắc nhất. Cuộc thi SASMO đặt mục tiêu chọn ra 40% học sinh xuất sắc nhất và độ khó của các câu hỏi chỉ vừa đủ để các em bộc lộ hết khả năng của mình.

Ảnh minh họa

Lời giải: Trong số 10 ngày trong danh sách – từ ngày 14 đến 19, chỉ có ngày 18 và 19 là xuất hiện duy nhất một lần. Nếu ngày sinh của Cheryl là 18 hoặc 19 thì Bernard sẽ biết Cheryl sinh ngày tháng nào vì Cheryl đã nói cho Bernard ngày sinh.

Nhưng tại sao Albert lại chắc chắn Bernard không biết ngày sinh của Cheryl?

Nếu Cheryl nói cho Albert tháng sinh của mình là tháng 5 hoặc tháng 6 thì có thể ngày tháng sinh của cô là 19/5 hoặc 18/6. Điều này có nghĩa là Bernard có thể biết. Vậy việc Albert chắc chắn Bernard không biết có nghĩa là Cheryl đã nói với Albert rằng tháng sinh của cô là tháng 7 hoặc tháng 8.

Ban đầu, Bernard không biết ngày tháng sinh của Cheryl nhưng làm thế nào anh lại biết sau khi Albert nói câu đầu tiên?

Lời giải chính thức của bài toán bằng tiếng Anh do Hội đồng chấm thi gửi tới báo chí.

Trong số 5 đáp án còn lại rơi vào tháng 7 và tháng 8, ngày 14 xuất hiện 2 lần, trong khi từ ngày 15 tới 17 chỉ xuất hiện một lần.

Nếu Cheryl nói với Bernard ngày sinh của cô là 14 thì Bernard sẽ không biết được ngày tháng sinh của Cheryl vì vẫn còn 2 khả năng xảy ra (14/7 hoặc 14/8). Nhưng Bernard lại nói rằng biết ngày tháng sinh của Cheryl nên ta loại 2 đáp án này và còn lại 3 đáp án: 16/7, 15/8 và 17/8.

Sau khi Bernard nói ra là mình biết, Albert cũng ngay lập tức biết ngày tháng sinh của Cheryl.

Nếu Cheryl nói với Albert tháng sinh của cô là tháng 8 thì Albert sẽ không thể biết được vì vẫn có 2 ngày tháng 8 (là 15/8 và 17/8).

Vì vậy, ngày tháng sinh của Cheryl chỉ có thể là 16/7.